Question

橢圓

x2

4

+

y2

b2

=1（b＞0）的焦點(diǎn)在x軸上，其右頂點(diǎn)（a，0）關(guān)于直線(xiàn)x-y+4=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在直線(xiàn)x=-

a2

c

上（c為半焦距長(zhǎng)）．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，交直線(xiàn)x=-

a2

c

于點(diǎn)C．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且

OA

+

OC

=2

OB

，求△OAB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)即可得出；
（2）把直線(xiàn)l的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量運(yùn)算及其相等即可得出．

解答： 解：（1）橢圓的右頂點(diǎn)為（2，0），
設(shè)（2，0）關(guān)于直線(xiàn)x-y+4=的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（x₀，y₀），則

x0+2 2 - y0 2 +4=0 y0 x0-2 =-1

…（4分）
解得x₀=-4，∴

a2

c

=

4

c

，
∴c=1，
∴b=

a2-c2

=

3

，
∴所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．--------------------------（6分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-4，y₃）
橢圓的左焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
∴x₁+x₂=-

8k2

3+4k2

①，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

②．
∵

OA

+

OC

=2

OB

，∴（x₁，y₁）+（-4，y₃）=2（x₂，y₂）
∴2x₂-x₁=-4③．
由①③得：x₂=-

4+8k2

3+4k2

，x₁=

4

3+4k2

，
代入②整理得：4k⁴-k²-5=0．
∴k²=

5

4

，
∴x₂=-

7

4

，x₁=

1

2

．
由于對(duì)稱(chēng)性，只需求k=

5

2

時(shí)，△OAB的面積，
此時(shí)，y₁=

3 5

4

，y₂=-

3 5

8

，
∴△OAB的面積為

1

2

|OF||y₁-y₂|=

9 5

16

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為把直線(xiàn)的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量運(yùn)算及其相等是解題的關(guān)鍵．