Question

7．如圖，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，點A是橢圓C上任意一點，且△AF₁F₂的周長為2（$\sqrt{2}$+1）
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若動點B在直線l：y=$\sqrt{2}$上，且OA⊥OB，點O到直線AB的距離為d（A，B），求證：d（A，B）為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{c}{a}$，a²=b²+c²，2a+2c=2$（\sqrt{2}+1）$，聯(lián)立解出即可得出．
（2）設(shè)A（x₀，y₀），B$（{x}_{1}，\sqrt{2}）$，由OA⊥OB，可得${x}_{0}{x}_{1}+\sqrt{2}{y}_{0}$=0，x₁=-$\frac{\sqrt{2}{y}_{0}}{{x}_{0}}$．
分類討論：①若x₁≠x₀，直線AB的方程為：y-$\sqrt{2}$=$\frac{{y}_{0}-\sqrt{2}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$（x-x₁），即$（{y}_{0}-\sqrt{2}）$x+（x₁-x₀）y+$\sqrt{2}{x}_{0}$-x₁y₀=0，利用點到直線的距離公式與${x}_{0}^{2}=2-2{y}_{0}^{2}$，可得d（A，B）為定值1．②若x₁=x₀，設(shè)直線OA的方程為：y=kx，則B$（\frac{\sqrt{2}}{k}，\sqrt{2}）$，A$（\frac{\sqrt{2}}{k}，-\frac{\sqrt{2}}{{k}^{2}}）$，代入橢圓方程解出k即可得出．

解答 （1）解：由題意可得：$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{c}{a}$，a²=b²+c²，2a+2c=2$（\sqrt{2}+1）$，解得a=$\sqrt{2}$，c=b=1．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）證明：設(shè)A（x₀，y₀），B$（{x}_{1}，\sqrt{2}）$，
∵OA⊥OB，∴${x}_{0}{x}_{1}+\sqrt{2}{y}_{0}$=0．∴x₁=-$\frac{\sqrt{2}{y}_{0}}{{x}_{0}}$．
①若x₁≠x₀，k_AB=$\frac{{y}_{0}-\sqrt{2}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$，直線AB的方程為：y-$\sqrt{2}$=$\frac{{y}_{0}-\sqrt{2}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$（x-x₁），
即$（{y}_{0}-\sqrt{2}）$x+（x₁-x₀）y+$\sqrt{2}{x}_{0}$-x₁y₀=0，
∴d（A，B）=$\frac{|\sqrt{2}{x}_{0}-{x}_{1}{y}_{0}|}{\sqrt{（{y}_{0}-\sqrt{2}）^{2}+（{x}_{1}-{x}_{0}）^{2}}}$，
∴[d（A，B）]²=$\frac{（\sqrt{2}{x}_{0}-{x}_{1}{y}_{0}）^{2}}{（{y}_{0}-\sqrt{2}）^{2}+（{x}_{1}-{x}_{0}）^{2}}$=$\frac{2（{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}）^{2}}{{x}_{0}^{2}（{y}_{0}-\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}{y}_{0}+{x}_{0}^{2}）}$，
∵${x}_{0}^{2}=2-2{y}_{0}^{2}$，
∴[d（A，B）]²=$\frac{2（2-{y}_{0}^{2}）^{2}}{（2-2{y}_{0}^{2}）{y}_{0}^{2}+4-2{y}_{0}^{2}+（2-2{y}_{0}^{2}）^{2}}$=$\frac{2（2-{y}_{0}^{2}）^{2}}{2（2-{y}_{0}^{2}）^{2}}$=1，
∴d（A，B）=1，為定值．
②若x₁=x₀，設(shè)直線OA的方程為：y=kx，則B$（\frac{\sqrt{2}}{k}，\sqrt{2}）$，A$（\frac{\sqrt{2}}{k}，-\frac{\sqrt{2}}{{k}^{2}}）$，
代入橢圓方程可得：$\frac{2}{2{k}^{2}}$+$\frac{2}{{k}^{4}}$=1，解得k=$±\sqrt{2}$．
∴直線AB的方程為：x=±1，點O到直線AB的距離d（A，B）=1．
綜上可得：d（A，B）為定值1．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．