Question

16．已知a_n=$\frac{1}{（\sqrt{n-1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n}+\sqrt{n+1}）（\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}）}$，S_n=$\sum_{k=1}^{n}$a_k，則S₂₀₀₉=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2009}$-$\sqrt{2010}$+1）．．

Answer 1

分析 由題意，a_n=$\frac{1}{（\sqrt{n-1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n}+\sqrt{n+1}）（\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}）}$=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$）=$\frac{1}{2}$[（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）-（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）]，利用疊加法即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，a_n=$\frac{1}{（\sqrt{n-1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n}+\sqrt{n+1}）（\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}）}$=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$）
=$\frac{1}{2}$[（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）-（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）]，
∴S₂₀₀₉=$\frac{1}{2}$[（1-0+$\sqrt{2}$-1+…+$\sqrt{2009}$-$\sqrt{2008}$）-（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{2010}$-$\sqrt{2009}$）]
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2009}$-$\sqrt{2010}$+1）．
故答案為$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2009}$-$\sqrt{2010}$+1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，考查疊加法的運(yùn)用，正確化簡(jiǎn)通項(xiàng)是關(guān)鍵．