Question

17．已知函數(shù)f（x）=ka^x（k為常數(shù)，a＞0且a≠1）的圖象過點A（0，1）和點B（2，16）．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）g（x）=b+$\frac{1}{f（x）+1}$是奇函數(shù)，求常數(shù)b的值；
（3）對任意的x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，試比較$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$與$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$的大�。�

Answer 1

分析 （1）將A、B的坐標(biāo)代入f（x），求出k，a的值，從而求出函數(shù)的解析式即可；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義求出b的值即可；
（3）分別求出$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$與$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$的表達(dá)式，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)判斷其大小即可．

解答 解：（1）將A（0，1）和點B（2，16）代入f（x）得：
$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{k{•a}^{2}=16}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{a=4}\end{array}\right.$，
故f（x）=4^x；
（2）由（1）g（x）=b+$\frac{1}{{4}^{x}+1}$，
若g（x）是奇函數(shù)，
則g（-x）=b+$\frac{1}{{4}^{-x}+1}$=b+$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+1}$=-b-$\frac{1}{{4}^{x}+1}$，
解得：b=-$\frac{1}{2}$；
（3）∵f（x）的圖象是凹函數(shù)，
∴$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$＜$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$，
證明如下：
$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$=${4}^{\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}}$，
$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$=$\frac{{{4}^{{x}_{1}}+4}^{{x}_{2}}}{2}$≥$\frac{2\sqrt{{4}^{{{x}_{1}+x}_{2}}}}{2}$=${4}^{\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}}$，
故$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$＜$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性問題，考查函數(shù)值的大小比較，考查不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．