Question

1．設(shè)f（x）=e^x（ax²+x+1），且曲線y=f（x）在x=1處的切線與x軸平行，且對?$θ∈[0\;，\;\;\frac{π}{2}]$，|f（cosθ）-f（sinθ）|≤b恒成立，則b的最小值為（　�。�

• A． e-1
• B． e
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的概念可得f'（1）=0，代入求出a，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷f（x）在[0，1]單調(diào)增加，|f（cosθ）-f（sinθ）|≤b恒成立，只需求出左式的最大值即可．

解答 解：f′（x）=e^x（ax²+x+1+2ax+1）．由條件知，f′（1）=0，
∴a+3+2a=0，
∴a=-1．
∴f′（x）=e^x（-x²-x+2）=-e^x（x+2）（x-1）．
故當(dāng)x∈（-∞，-2）∪（1，+∞）時，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（-2，1）時，f′（x）＞0．
∴f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）單調(diào)減少，在（-2，1）單調(diào)增加；
∴f（x）在[0，1]單調(diào)增加，
故f（x）在[0，1]的最大值為f（1）=e，最小值為f（0）=1．
從而對任意x₁，x₂∈[0，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1．
 而當(dāng)?$θ∈[0\;，\;\;\frac{π}{2}]$時，cosθ，sinθ∈[0，1]．
從而|f（cosθ）-f（sinθ）|≤e-1，
所以b≥e-1，
∴b的最小值為e-1．
故選：A．

點評 考查了導(dǎo)函數(shù)的概念，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，對恒成立問題的轉(zhuǎn)化．