Question

12．設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{{3{x^2}+ax}}{e^x}，a∈R$．
（1）若f（x）在x=0處取得極值，求實數(shù)a的值；
（2）若f（x）在[3，+∞）上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，由f（x）在x=0處取得極值，可得f′（0）=0，解得a；
（2）“分離參數(shù)法”：由f（x）在[3，+∞）上為減函數(shù)，可得f′（x）≤0，可得a≥$\frac{-3{x}^{2}+6x}{x-1}$，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=$\frac{-3{x}^{2}+6x}{x-1}$，利用導(dǎo)數(shù)研究其最大值即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{-3{x}^{2}+（6-a）x+a}{{e}^{x}}$，
∵f（x）在x=0處取得極值，∴f′（0）=0，解得a=0；
（2）由f（x）在[3，+∞）上為減函數(shù)，∴f′（x）≤0，
可得a≥$\frac{-3{x}^{2}+6x}{x-1}$，在[3，+∞）上恒成立．
令u（x）=$\frac{-3{x}^{2}+6x}{x-1}$，u′（x）=$\frac{-3[（x-1）^{2}+1]}{（x-1）^{2}}$＜0，
∴u（x）在[3，+∞）上單調(diào)遞減，
∴a≥u（3）=-$\frac{9}{2}$．
因此a的取值范圍為：[-$\frac{9}{2}$，+∞）．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算法則、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了“分離參數(shù)法”、推理能力與計算能力，屬于中檔題．