Question

已知|

a

|=2，|

b

|=1，

a

與

b

的夾角為

π

3

．
（1）求|

a

+

b

|；
（2）求向量

m

=2

a

+

b

與向量

n

=

a

-4

b

的夾角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量數(shù)量積的定義，求得向量a，b的數(shù)量積，再由向量的平方即為模的平方，即可得到所求；
（2）求出向量m，n的數(shù)量積和模，再由夾角公式，即可得到所求余弦值．

解答： 解：（1）|

a

|=2，|

b

|=1，

a

與

b

的夾角為

π

3

，
則

a

•

b

=|

a

|•|

b

|•cos

π

3

=2×1×

1

2

=1，
則|

a

+

b

|=

( a + b )2

=

a 2+ b 2+2 a • b

=

4+1+2×1

=

7

；
（2）

m

•

n

=2

a

2-4

b

2-7

a

•

b

=2×4-4-7=-3，
|

m

|=

(2 a + b )2

=

4 a 2+ b 2+4 a • b

=

4×4+1+4

=

21

，
|

n

|=

( a -4 b )2

=

a 2+16 b 2-8 a • b

=

4+16-8

=2

3

，
則有cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

-3

21 ×2 3

=-

7

14

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．