Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²+2alnx，a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在x=1處取得極值，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞0對任意x∈[1，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f′（1），求出a的值即可；（Ⅱ）通過討論x的范圍，0得a＞-$\frac{{x}^{2}}{2lnx}$，令g（x）=-$\frac{{x}^{2}}{2lnx}$（x＞1），求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=2x+$\frac{2a}{x}$=$\frac{2{（x}^{2}+a）}{x}$，
由f′（1）=2+2a=0，解得：a=-1，
經(jīng)檢驗a=-1時取極小值，
故a=-1；
（Ⅱ）由f（x）＞0，即x²+2alnx＞0，對任意x∈[1，+∞）恒成立，
（1）x=1時，有a∈R，
（2）x＞1時，x²+2alnx＞0得a＞-$\frac{{x}^{2}}{2lnx}$，
令g（x）=-$\frac{{x}^{2}}{2lnx}$（x＞1），得g′（x）=-$\frac{x（2lnx-1）}{{2ln}^{2}x}$，
若1＜x＜$\sqrt{e}$，則g′（x）＞0，若x＞$\sqrt{e}$，則g′（x）＜0，
得g（x）在（1，$\sqrt{e}$）遞增，在（$\sqrt{e}$，+∞）遞減，
故g（x）=-$\frac{{x}^{2}}{2lnx}$（x＞1）的最大值是g（$\sqrt{e}$）=-e，
故a＞-e，
綜上a＞-e．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．