Question

1．A，B，C，D，E五名大學生被隨機地分到甲、乙、丙、丁四所學校實習，每所學校至少負責安排一名實習生．
（1）求A，B兩人同時去甲學校實習的概率；
（2）求A，B兩人不去同一所學校實習的概率；
（3）設隨機變量ξ為這五名學生中去甲學校實習的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）記“A、B兩人同時甲學校實習”為事件E_A，由等可能事件概率計算公式能求出A，B兩人同時去甲學校實習的概率．
（2）記“A、B兩人同時去同一學校實習”為事件E，利用對立事件概率計算公式能求出甲、乙兩人不在同一崗位服務的概率．
（3）隨機變量ξ可能取的值為1，2，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答 （本小題滿分14分）
解：（1）記“A、B兩人同時甲學校實習”為事件E_A，
則A，B兩人同時去甲學校實習的概率P（E_A）=$\frac{{A}_{3}^{3}}{{C}_{5}^{2}{A}_{4}^{4}}$=$\frac{1}{40}$，…（4分）
即A、B兩人同時甲學校實習的概率是$\frac{1}{40}$．
（2）記“A、B兩人同時去同一學校實習”為事件E，
P（E）=$\frac{{A}_{4}^{4}}{{C}_{5}^{2}{A}_{4}^{4}}$=$\frac{1}{10}$，
∴A，B兩人不去同一所學校實習的概率P（$\overline{E}$）=1-P（E）=$\frac{9}{10}$．…（8分）
所以，甲、乙兩人不在同一崗位服務的概率是$\frac{9}{10}$．
（3）隨機變量ξ可能取的值為1，2  …（9分）
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}{A}_{3}^{3}}{{C}_{5}^{3}{A}_{4}^{4}}$=$\frac{1}{4}$，…（10分）
P（ξ=1）=1-P（ξ=2）=$\frac{3}{4}$…（11分）
ξ的分布列為：

ξ	1	2
P	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$

…（13分）
E（ξ）=1×$\frac{3}{4}$+2×$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$．…（14分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對立事件概率計算公式的合理運用．