Question

11．如圖，江的兩岸可近似的看成兩平行的直線，江岸的一側(cè)有A，B兩個蔬菜基地，江的另一側(cè)點C處有一個超市．已知A、B、C中任意兩點間的距離為20千米．超市欲在AB之間建一個運(yùn)輸中轉(zhuǎn)站D，A，B兩處的蔬菜運(yùn)抵D處后，再統(tǒng)一經(jīng)過貨輪運(yùn)抵C處．由于A，B兩處蔬菜的差異，這兩處的運(yùn)輸費用也不同．如果從A處出發(fā)的運(yùn)輸費為每千米2元，從B處出發(fā)的運(yùn)輸費為每千米1元，貨輪的運(yùn)輸費為每千米3元． 
（1）設(shè)∠ADC=α，試將運(yùn)輸總費用S（單位：元）表示為α的函數(shù)S（α），并寫出自變量的取值范圍；
（2）問中轉(zhuǎn)站D建在何處時，運(yùn)輸總費用S最��？并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）由題在△ACD中，由正弦定理求得CD、AD的值，即可求得運(yùn)輸成本S的解析式．
（2）利用導(dǎo)數(shù)求得cosα=-$\frac{1}{3}$時，函數(shù)S取得極小值，由此可得中轉(zhuǎn)點D到A的距離以及S的最小值．

解答 解：（1）由題在△ACD中，∵∠CAD=∠ABC=∠ACB=$\frac{π}{3}$，∠CDA=α，∴∠ACD=$\frac{2π}{3}$-α．
又AB=BC=CA=20，△ACD中，
由正弦定理知$\frac{CD}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{AD}{sin（\frac{2π}{3}-α）}$=$\frac{20}{sinα}$，得CD=$\frac{10\sqrt{3}}{sinα}$，AD=$\frac{20sin（\frac{2π}{3}-α）}{sinα}$，…（3分）
∴S=2AD+BD+3CD=AD+3CD+20=$\frac{20sin（\frac{2π}{3}-α）}{sinα}$+$\frac{30\sqrt{3}}{sinα}$+20
=10$\sqrt{3}$•$\frac{3+cosα}{sinα}$+20 （$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{2π}{3}$）．…（7分）
（2）S′=10$\sqrt{3}$•$\frac{1+3cosα}{si{n}^{2}α}$，令S′=0，得cosα=-$\frac{1}{3}$．…（10分）
當(dāng)cosα＜-$\frac{1}{3}$時，S′＜0；當(dāng)cosα＞-$\frac{1}{3}$時，S′＞0，∴當(dāng)cosα=-$\frac{1}{3}$時S取得最小值．…（12分）
此時，sinα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，AD=10-$\frac{5\sqrt{6}}{2}$，
∴中轉(zhuǎn)站距A處10-$\frac{5\sqrt{6}}{2}$千米時，運(yùn)輸成本S最�。�…（14分）

點評 本題主要考查正弦定理，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性求極值，屬于中檔題．