Question

7．M是橢圓T：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上任意一點，F(xiàn)是橢圓T的右焦點，A為左頂點，B為上頂點，O為坐標原點，已知|MF|的最大值為3+$\sqrt{5}$，最小值為3-$\sqrt{5}$．
（I）求橢圓T的標準方程；
（II）求△ABM的面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）由橢圓性質可知$|{{M}F}|=\frac{c}{a}（{\frac{a^2}{c}-{x_{M}}}）=a-\frac{c}{a}{x_{M}}$，其中c＞0，c²=a²-b²，又x _M∈[-a，a]，故|MF|∈[a-c，a+c]，則$\left\{\begin{array}{l}a+c=3+\sqrt{5}\\ a-c=3-\sqrt{5}\end{array}\right.$，解之得a，c的值，進一步得到橢圓T的方程．
（II）由題知直線AB的方程為$y=\frac{2}{3}x+2$，設直線l：$y=\frac{2}{3}x+m$與橢圓T相切于x軸下方的點M₀，則△ABM₀的面積為△ABM的面積的最大值S₀，聯(lián)立直線和橢圓方程即可求得m的值，再求出直線AB與直線l距離，則△ABM的面積的最大值可求．

解答 解：（I）由橢圓性質可知$|{{M}F}|=\frac{c}{a}（{\frac{a^2}{c}-{x_{M}}}）=a-\frac{c}{a}{x_{M}}$，其中c＞0，c²=a²-b²，
∵x _M∈[-a，a]，故|MF|∈[a-c，a+c]，則$\left\{\begin{array}{l}a+c=3+\sqrt{5}\\ a-c=3-\sqrt{5}\end{array}\right.$，解之得$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ c=\sqrt{5}\end{array}\right.$．
故b²=a²-c²=4，橢圓T的方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$．

（II）由題知直線AB的方程為$y=\frac{2}{3}x+2$，設直線l：$y=\frac{2}{3}x+m$與橢圓T相切于x軸下方的點M₀（如上圖所示），則△ABM₀的面積為△ABM的面積的最大值S₀．
則$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$即$\frac{2}{9}{x}^{2}+\frac{m}{3}x+\frac{{m}^{2}}{4}-1=0$，則$△=\frac{{m}^{2}}{9}-4×\frac{2}{9}（\frac{{m}^{2}}{4}-1）=0$解得m=$-2\sqrt{2}$．
此時，直線AB與直線l距離為$\frac{{2+2\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+\frac{4}{9}}}}=\frac{{3（{2+2\sqrt{2}}）}}{{\sqrt{13}}}$，而$|{{A}{B}}|=\sqrt{13}$，${S_0}=\frac{1}{2}•\sqrt{13}•\frac{{3（{2+2\sqrt{2}}）}}{{\sqrt{13}}}=3（{1+\sqrt{2}}）$．
∴△ABM的面積的最大值是$3（1+\sqrt{2}）$．

點評 本題考查了橢圓的簡單性質，考查了點到直線的距離公式，是中檔題．