Question

7．2015年7月9日21時15分，臺風“蓮花”在我國廣東省陸豐市甲東鎮(zhèn)沿海登陸，給當?shù)厝嗣裨斐闪司薮蟮呢敭a損失，適逢暑假，小張調查了當?shù)啬承�區(qū)的100戶居民由于臺風造成的經濟損失，將收集的數(shù)據(jù)分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五組，并作出如圖頻率分布直方圖（圖1）：

（Ⅰ）臺風后居委會號召小區(qū)居民為臺風重災區(qū)捐款，小張調查的100戶居民捐款情況如表格，在表格空白處填寫正確數(shù)字，并說明是否有95%以上的把握認為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經濟損失是否到4000元有關？
（Ⅱ）將上述調查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量受災居民中，采用隨機抽樣方法每次抽取1戶居民，抽取3次，記被抽取的3戶居民中自身經濟損失超過4000元的人數(shù)為ξ．若每次抽取的結果是相互獨立的，求ξ的分布列，期望E（ξ）和方差D（ξ）．

	經濟損失不超過 4000元	經濟損失超過 4000元	合計
捐款超過 500元	60
捐款不超 過500元		10
合計

附：臨界值表

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.025
k	2.706	3.841	5.024

隨機量變${K^2}=\frac{{（a+b+c+d）{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，經濟損失不超過4000元的有70人，經濟損失超過4000元的有30人，求出K²，得到有95%以上的把握認為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經濟損失是否到4000元有關．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知抽到自身經濟損失超過4000元居民的頻率為0.3，將頻率視為概率．由題意知ξ的取值可能有0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{3}{10}$）．由此能求出ξ的分布列，期望E（ξ）和方差D（ξ）．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，經濟損失不超過4000元的有70人，經濟損失超過4000元的有30人，則表格數(shù)據(jù)如下

	經濟損失不超過 4000元	經濟損失超過 4000元	合計
捐款超過 500元	60	20	80
捐款不超 過500元	10	10	20
合計	70	30	100

${K^2}=\frac{{100×{{（60×10-10×20）}^2}}}{80×20×70×30}=4.762$．
因為4.762＞3.841，p（k≥3.841）=0.05．
所以有95%以上的把握認為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經濟損失是否到4000元有關．    …（4分）
（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知抽到自身經濟損失超過4000元居民的頻率為0.3，將頻率視為概率．
由題意知ξ的取值可能有0，1，2，3，…（5分）ξ～B（3，$\frac{3}{10}$）．
$P（{ξ=0}）=C_3^0{（{\frac{3}{10}}）^0}{（{\frac{7}{10}}）^3}=\frac{343}{1000}$，…（6分）$P（{ξ=1}）=C_3^1{（{\frac{3}{10}}）^1}{（{\frac{7}{10}}）^2}=\frac{441}{1000}$，…（7分）$P（{ξ=2}）=C_3^2{（{\frac{3}{10}}）^2}{（{\frac{7}{10}}）^1}=\frac{189}{1000}$，…（8分）$P（{ξ=3}）=C_3^3{（{\frac{3}{10}}）^3}{（{\frac{7}{10}}）^0}=\frac{27}{1000}$，…（9分）
從而ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
p	$\frac{343}{1000}$	$\frac{441}{1000}$	$\frac{189}{1000}$	$\frac{27}{1000}$

…（10分）$E（ξ）=np=3×\frac{3}{10}=0.9$，…（11分）$D（ξ）=np（1-p）=3×\frac{3}{10}×\frac{7}{10}=0.63$…（12分）

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列，期望和方差的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質的合理運用．