Question

17．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，2cos（A-C）+cos2B=1+2cosAcosC．
（1）求證：a，b，c依次成等比數(shù)列；
（2）若b=2，求u=|$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-5}{a-c}$|的最小值，并求u達(dá)到最小值時(shí)cosB的值．

Answer 1

分析 （1）將已知中2cos（A-C）+cos2B=1+2cosAcosC展開(kāi)合并，再用正弦定理即可得到結(jié)論；
（2）若b=2，則ac=4，利用基本不等式，可得當(dāng)且僅當(dāng)|a-c|=$\sqrt{3}$時(shí)，u=|$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-5}{a-c}$|取最小值2$\sqrt{3}$，再由余弦定理，可得cosB的值．

解答 證明：（1）∵2cos（A-C）+cos2B=1+2cosAcosC，
∴2cosAcosC+2sinAsinC+1-2sin²B=1+2cosAcosC，
即2sinAsinC-2sin²B=0，
即sinAsinC=sin²B，
即ac=b²，
∴a，b，c依次成等比數(shù)列；
解：（2）若b=2，則ac=4，
則u=|$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-5}{a-c}$|=|$\frac{{（a-c）}^{2}+3}{a-c}$|=|a-c|+|$\frac{3}{a-c}$|≥2$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)|a-c|=$\sqrt{3}$時(shí)，u=|$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-5}{a-c}$|取最小值2$\sqrt{3}$，
此時(shí)cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{（a-c）}^{2}+2ac-^{2}}{2ac}$=$\frac{7}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是基本不等式的應(yīng)用，正弦定理，余弦定理，等比數(shù)列的確定，難度中檔．