Question

設遞增數(shù)列{a_n}滿足a_l=1，a_l、a₂、a₅成等比數(shù)列，且對任意n∈N^*，函數(shù)．f（ x）=（a_n+2-a_n+1）x-（aⁿ-a_n-1）sinx+a_ncosx滿足f′（π）=0．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，b_n=

1

Sn

，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，證明：T_n＜2．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由f′（x）=a_n+2-a_n+1-（a_n-a_n+1）cosx-a_nsinx，得2a_n+1=a_n+a_n+2，由a_l、a₂、a₅成等比數(shù)列，得d=2，由此能求出a_n=2n-1．
（Ⅱ）S_n=

(a1+an)n

2

=n²，b_n=

1

n2

，

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，由此能證明T_n＜2．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（ x）=（a_n+2-a_n+1）x-（aⁿ-a_n-1）sinx+a_ncosx，
∴f′（x）=a_n+2-a_n+1-（a_n-a_n+1）cosx-a_nsinx，
∴f′（π）=a_n+2-a_n+1+a_n-a_n+1=0，即2a_n+1=a_n+a_n+2，
∴{a_n}是以a₁=1為首項的等差數(shù)列，
設數(shù)列{a_n}的公差為d，則d＞0，
由a_l、a₂、a₅成等比數(shù)列，得（a₁+d）²=a₁（a₁+4d），解得d=2，
∴a_n=2n-1．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S_n=

(a1+an)n

2

=n²，∴b_n=

1

n2

，∴T₁=b₁=1＜2．
∵當n≥2時，

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=

1

12

+

1

22

+

1

32

…+

1

n2

＜

1

12

+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

=1+1-

1

2

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

＜2，
∴T_n＜2．（13分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．