Question

8．已知函數f（x）=（x²-ax-a）e^x
（1）當a=-1時，求f（x）在x=0處的切線方程．
（2）討論函數f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求得a=-1時，f（x）的導數，可得切線的斜率和切點，由斜截式方程可得切線的方程；
（2）求得f（x）的導數，并分解因式，對a討論，分a=-2，a＞-2，a＜-2，由導數大于0，可得增區(qū)間；導數小于0，可得減區(qū)間．

解答 解：（1）當a=-1時，函數f（x）=（x²+x+1）e^x的導數為f′（x）=（x²+3x+2）e^x，
可得f（x）在x=0處的切線斜率為2e⁰=2，切點為（0，1），
即有f（x）在x=0處的切線方程為y=2x+1；
（2）函數f（x）=（x²-ax-a）e^x的導數為f′（x）=[x²+（2-a）x-2a]e^x
=（x+2）（x-a）e^x，
當a=-2時，f′（x）≥0，f（x）在R上遞增；
當a＞-2時，由f′（x）＞0，可得x＞a或x＜-2；
由f′（x）＜0，可得-2＜x＜a；
當a＜-2時，由f′（x）＞0，可得x＞-2或x＜a；
由f′（x）＞0，可得a＜x＜-2．
綜上可得，a=-2時，函數f（x）的增區(qū)間為R；
當a＞-2時，f（x）的增區(qū)間為（-∞，-2），（a，+∞）；減區(qū)間為（-2，a）；
當a＜-2時，f（x）的增區(qū)間為（-∞，a），（-2，+∞）；減區(qū)間為（a，-2）．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程和單調區(qū)間，注意運用分類討論的思想方法，以及二次不等式的解法，屬于中檔題．