Question

8．已知函數(shù)f（x）=（x²-ax-a）e^x
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求f（x）在x=0處的切線方程．
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求得a=-1時(shí)，f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由斜截式方程可得切線的方程；
（2）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，并分解因式，對(duì)a討論，分a=-2，a＞-2，a＜-2，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=（x²+x+1）e^x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=（x²+3x+2）e^x，
可得f（x）在x=0處的切線斜率為2e⁰=2，切點(diǎn)為（0，1），
即有f（x）在x=0處的切線方程為y=2x+1；
（2）函數(shù)f（x）=（x²-ax-a）e^x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=[x²+（2-a）x-2a]e^x
=（x+2）（x-a）e^x，
當(dāng)a=-2時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在R上遞增；
當(dāng)a＞-2時(shí)，由f′（x）＞0，可得x＞a或x＜-2；
由f′（x）＜0，可得-2＜x＜a；
當(dāng)a＜-2時(shí)，由f′（x）＞0，可得x＞-2或x＜a；
由f′（x）＞0，可得a＜x＜-2．
綜上可得，a=-2時(shí)，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為R；
當(dāng)a＞-2時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（-∞，-2），（a，+∞）；減區(qū)間為（-2，a）；
當(dāng)a＜-2時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（-∞，a），（-2，+∞）；減區(qū)間為（a，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，以及二次不等式的解法，屬于中檔題．