Question

3．根據(jù)下列條件，求圓方程：
（1）過兩點(diǎn)A（1，2），B（5，6），且圓心在直線2x-y-5=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求與直線x+3y-8=0相切于點(diǎn)P（2，2），且截y軸所得弦長為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓心坐標(biāo)為C（a，2a-5），由CA=CB，求得a=4，可得圓心C（4，3），半徑CA，從而求得要求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由題意可得$\frac{b-2}{a-2}$•（-$\frac{1}{3}$）=-1，1+a²=r²=（a-1）²+（b-2）²，由此求得ab的值，可得圓心坐標(biāo)和半徑，從而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為C（a，2a-5），由CA=CB，可得（a-1）²+（2a-5-2）²=（a-5）²+（2a-5-6）²，
求得a=4，可得圓心C（4，3），故半徑為CA=$\sqrt{{（4-1）}^{2}{+（3-2）}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴要求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-4）²+（y-3）²=10．
（2）設(shè)要求的圓的圓心為M（a，b），則半徑為MP=$\sqrt{{（a-1）}^{2}{+（b-2）}^{2}}$，且$\frac{b-2}{a-2}$•（-$\frac{1}{3}$）=-1 ①，即 b=3a-4．
根據(jù)圓截y軸所得弦長為2，可得1+a²=r²=（a-1）²+（b-2）²，即 a=$\frac{{（b-1）}^{2}}{2}$②，
由①②求得a=3，b=5，r²=10，或 a=$\frac{13}{9}$，b=$\frac{1}{3}$，r²=$\frac{250}{81}$，
故要求的圓的方程為 （x-3）²+（y-5）²=10，或${（x-\frac{13}{9}）}^{2}$+${（y-\frac{1}{3}）}^{2}$=$\frac{250}{81}$．

點(diǎn)評 本題主要考查李用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓的相交、相切的性質(zhì)，屬于中檔題．