Question

7．已知a＜0，f（x）=x³-ax
（1）判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并證明．
（2）設(shè)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x≤-1}\\{{x}^{2}-2ax+1，x＞-1}\end{array}\right.$，且g（x）在R上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，用單調(diào)性定義證明即可；
（2）由g（x）在R上是單調(diào)函數(shù)得出$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a≤-1}\\{2+2a≥a-1}\end{array}\right.$，解不等式組即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)；…（1分）
證明：任取x₁、x₂∈R、且x₁＜x₂，
所以f（x₁）-f（x₂）=（${{x}_{1}}^{3}$-ax₁）-（${{x}_{2}}^{3}$-ax₂）
=（x₁-x₂）（${{x}_{1}}^{2}$+x₁x₂+${{x}_{2}}^{2}$-a）…（2分）
=（x₁-x₂）[${{（x}_{1}+{\frac{1}{2}x}_{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$${{x}_{2}}^{2}$-a]；…（4分）
由x₁-x₂＜0，-a＞0，
得f（x₁）-f（x₂）＜0，
所以f（x₁）＜f（x₂），
即由定義知f（x）在R上為增函數(shù)；…（6分）
（2）由g（x）在R上是單調(diào)函數(shù)知$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a≤-1}\\{2+2a≥a-1}\end{array}\right.$，
解得-3≤a≤-1，
所以a的取值范圍是a∈[-3，-1]…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，也考查了分段函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．