Question

19．如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為DD₁的中點，求證：
（1）求證：BD₁∥平面EAC；
（2）平面BDD₁⊥平面AB₁C．

Answer 1

分析 （1）記AC與BD交于點O，連接EO．證明BD₁∥OE，然后證明BD₁∥平面EAC．
（2）通過DD₁⊥AC，AC⊥BD，推出AC⊥平面BDD₁，然后證明平面EAC⊥平面BDD₁．

解答 證明：（1）記AC與BD交于點O，連接EO．
∵O，E分別是BD，DD₁的中點，∴BD₁∥OE…（3分）
∵OE?平面EAC，BD₁?平面EAC，
∴BD₁∥平面EAC…（6分）
（2）∵DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∵DD₁⊥AC…（9分）
又∵AC⊥BD，DD₁∩BD=D，∴AC⊥平面BDD₁…（12分）
∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面BDD₁…（14分）

點評 本題考查平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．