Question

設(shè)函數(shù)f（x）在R上滿足f（1+x）=f（1-x），f（x+2）=-f（2-x）．
（1）求f（2）的值．
（2）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由．
（3）若f（1）=

1

2

，試求出f（2014）的值．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求f（2）的值．
（2）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由．
（3）若f（1）=

1

2

，試求出f（2014）的值．

解答： 解：（1）令x=0，則由f（2+x）=-f（2-x），
得f（2）=-f（2），解得f（2）=0．
（2）f（-x）=f[1-（1+x）]=f[1+（1+x）]=f（2+x）=-f（2-x）=-f[1+（1-x）]=-f[1-（1-x）]=-f（x）．
故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（3）f（4+x）=f[2+（2+x）]=-f[2-（2+x）]=-f（-x）=f（x）
 故f（x）是周期為4的周期函數(shù)，
則f（2014）=f（503×4+2）=f（2）=0

點評：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法結(jié)合函數(shù)奇偶性和周期性的定義判斷函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．