Question

如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，D是AC上一點，E是BC上一點，若AB=

1

2

BD，CE=

1

2

EB，∠BDE=120°，CD=3，則BC=

 

．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：解三角形

分析：經(jīng)E點作EF⊥AC于F點，設(shè)AB=x，則由題意可求得BD，AD，AC，BC²，EF，ED，△EDB中，由余弦定理知：

4

9

x²+4x²-2×

2x

3

×4x²×（-

1

2

）=

4

9

BC²=

4

9

x²+(3+

3

x)2，整理可得：3x²-2

2

x-3=9，可解得x，從而可求BC．

解答：
解：如圖，經(jīng)E點作EF⊥AC于F點，設(shè)AB=x，則由題意可得，
BD=2x，AD=

3

x，AC=3+

3

x，BC²=x²+(3+

3

x)2，
∵△CEF∽△ABC，∴

EF

AB

=

EC

BC

=

1

3

，即有EF=

1

3

x，
∵∠BDE=120°，AB=

1

2

BD，
∴∠EDF=30°，∴ED=2EF=

2

3

x，
∴△EDB中，由余弦定理知：BE²=DE²+BD²-2ED×BD×cos120°=

4

9

x²+4x²-2×

2x

3

×4x²×（-

1

2

）=

4

9

BC²
=

4

9

[x²+(3+

3

x)2]，
整理可得：3x²-2

2

x-3=9，
∴可解得：x=

3

或-

3

3

（舍去），
∴BC²=x²+(3+

3

x)2=39，可解得：BC=

39

．
故答案為：

39

．

點評：本題主要考察了余弦定理的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．