Question

7．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦點F到直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$的距離為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點F的直線l（與x軸不重合）與橢圓C交于A，B兩點，線段AB中點為D，過點O，D的直線交橢圓于M、N兩點（O為坐標原點），求四邊形AMBN面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）由離心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$及$\frac{{a}^{2}}{c}$-c=1，即可求得a和c的值，由b²=a²-c²=1，即可求得b，求得橢圓C的方程；
（2）由題意可知設(shè)直線AB的方程為x=my+1，代入橢圓方程，由韋達定理求得中點D坐標和弦長丨AB丨，求得直線OD的方程，代入橢圓方程，求得M和N點坐標，由點到直線的距離公式，求得點M和N到直線AB的距離d₁，d₂，由題意可知：S_AMBN=$\frac{1}{2}$丨AB丨+（d₁+d₂）=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{m}^{2}}}{\sqrt{2+{m}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$$\sqrt{1-\frac{1}{2+{m}^{2}}}$，由函數(shù)的單調(diào)性即可求得四邊形AMBN面積的最小值．

解答 解：（1）由題意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$-c=1，
解得：a=$\sqrt{2}$，c=1，
b²=a²-c²=1，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₀，y₀），
設(shè)直線AB的方程為x=my+1，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，整理得：（2+m²）y²+2my-1=0，
由韋達定理可知：y₁+y₂=$\frac{-2m}{2+{m}^{2}}$，y₁•y₂=$\frac{-1}{2+{m}^{2}}$，
由弦長公式可知：丨AB丨=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•丨y₁-y₂丨=$\frac{2\sqrt{2}（1+{m}^{2}）}{2+{m}^{2}}$，
由中點坐標公式可知：y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{-m}{2+{m}^{2}}$，x₀=my₀+1=$\frac{-{m}^{2}}{2+{m}^{2}}$+1=$\frac{2}{2+{m}^{2}}$，
∴D（$\frac{2}{2+{m}^{2}}$，$\frac{-m}{2+{m}^{2}}$），
直線OD的方程為y=-$\frac{m}{2}$x，代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，整理得：x²=$\frac{4}{2+{m}^{2}}$，
M（$\frac{2}{\sqrt{2+{m}^{2}}}$，$\frac{-m}{\sqrt{2+{m}^{2}}}$），N（$\frac{-2}{\sqrt{2+{m}^{2}}}$，$\frac{m}{\sqrt{2+{m}^{2}}}$），
M到直線AB的距離d₁=$\frac{丨\frac{2}{\sqrt{2+{m}^{2}}}+\frac{{m}^{2}}{\sqrt{2+{m}^{2}}}-1丨}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
N到直線AB的距離d₂=$\frac{丨-\frac{2}{\sqrt{2+{m}^{2}}}-\frac{{m}^{2}}{\sqrt{2+{m}^{2}}}-1丨}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
∵M，N在直線AB的兩側(cè)，且MN關(guān)于原點對稱，
∴S_AMBN=$\frac{1}{2}$丨AB丨+（d₁+d₂）=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{2}（1+{m}^{2}）}{2+{m}^{2}}$•（$\frac{丨\frac{2}{\sqrt{2+{m}^{2}}}+\frac{{m}^{2}}{\sqrt{2+{m}^{2}}}-1丨}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$+$\frac{丨-\frac{2}{\sqrt{2+{m}^{2}}}-\frac{{m}^{2}}{\sqrt{2+{m}^{2}}}-1丨}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$），
=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{m}^{2}}}{\sqrt{2+{m}^{2}}}$，
∴S_AMBN=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{m}^{2}}}{\sqrt{2+{m}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$$\sqrt{1-\frac{1}{2+{m}^{2}}}$≥2，
綜上所述，四邊形AMBN面積的最小值2．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，弦長公式，中點坐標公式，點到直線的距離公式及函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查計算能力，是高考常見的題型，屬于難題．