Question

12．已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（x，y）到兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離之比等于$\frac{1}{2}$．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀；
（2）已知點(diǎn)P（x，y）為所求軌跡上任意一點(diǎn)，求2x²+y²的最大值．

Answer 1

分析 （1）有題意可知：$\frac{丨MO丨}{丨MA丨}$=$\frac{1}{2}$，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式：$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，整理可得（x+1）²+y²=4，因此求得M的軌跡方程及軌跡的形狀；
（2）由圓的方程可知：-3≤x≤1，將P代入圓方程，求得y²=-x²-2x+3，代入由二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，即可求得2x²+y²的最大值．

解答 解：（1）由題意可知：$\frac{丨MO丨}{丨MA丨}$=$\frac{1}{2}$，由點(diǎn)到直線的距離公式，可得：$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
化簡(jiǎn)整理得：x²+y²+2x-3=0，即（x+1）²+y²=4，
∴點(diǎn)M的軌跡方程（x+1）²+y²=4，軌跡是以（-1，0）為圓心，以2為半徑的圓；
（2）由（1）可知，P（x，y）為圓（x+1）²+y²=4上任意一點(diǎn)，
∴-3≤x≤1，
由y²=-x²-2x+3，
∴2x²+y²=2x²+（-x²-2x+3）=x²-2x+3=（x-1）²+2，
∴當(dāng)x=-3時(shí)，y=0時(shí)，
2x²+y²的最大值18．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的軌跡方程，點(diǎn)到直線的距離公式，一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及在閉區(qū)間上的最值，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．