Question

已知f（x）=-

x

1+|x|

，（x∈R），M=[a，b]（a＜b），N={y|y=f（x），x∈M}，使M=N成立的實數(shù)對（a，b）有多少？

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知中函數(shù)f（x）=-

x

1+|x|

，判斷出函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，再由區(qū)間M=[a，b]（a＜b），集合N={y|y=f（x），x∈M}，我們可以構(gòu)造滿足條件的關(guān)于a，b的方程組，解方程組，即可得到答案．

解答： 解：∵x∈R，f（-x）=

x

1+|x|

=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)，
∵x≥0時，f（x）=

-x

1+x

=

1

1+x

-1，
當(dāng)x＜0時，f（x）=

-x

1-x

=1-

1

1-x

，
∴f（x）在R上單調(diào)遞減
∵函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的值域也為[a，b]，則f（a）=b，f（b）=a
即-

a

1+|a|

=b，-

b

1+|b|

=a，
解得a=0，b=0
∵a＜b
則使M=N成立的實數(shù)對（a，b）有0對．

點評：本題考查的知識點是集合相等，函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，其中根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造出滿足條件的關(guān)于a，b的方程組，是解答本題的關(guān)鍵．