Question

4．f（x）=2sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$$+\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$（x∈R）；
（1）求該函數最大值以及取得最大值時的x的取值；
（2）直線l傾斜角為θ，且f（θ）=2，l與坐標軸圍成的三角形的面積為$\sqrt{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的正弦公式，兩角和的正弦公式化簡解析式，由正弦函數的最大值求出f（x）de 最大值以及取得最大值時的x的取值；
（2）由（1）化簡f（θ）=2，由θ的范圍和特殊角的三角函數值求出θ，由斜率公式求出直線l的斜率，由斜截式方程設出直線l的方程，令y=0和x=0求出與坐標軸的交點坐標，結合條件列出方程求解后即可求出直線l的方程．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=2sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$
=sin$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$=$2sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$，
當$\frac{x}{2}+\frac{π}{3}=2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$時，$sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）=1$，
f（x）取到最大值為2，此時$x=4kπ+\frac{π}{3}（k∈Z）$；
（2）由（1）得，f（θ）=$2sin（\frac{θ}{2}+\frac{π}{3}）$=2，則$sin（\frac{θ}{2}+\frac{π}{3}）=1$，
∴$\frac{θ}{2}+\frac{π}{3}=2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，化簡得$θ=4kπ+\frac{π}{3}（k∈Z）$，
∵0≤θ＜π，∴θ=$\frac{π}{3}$，則直線l的斜率k=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
設直線l的方程為y=$\sqrt{3}$x+b，
令y=0得x=$\frac{\sqrt{3}b}{3}$，令x=0得y=b，
∵直線l與坐標軸圍成的三角形的面積為$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}×|b|×|\frac{\sqrt{3}b}{3}|=\sqrt{3}$，解得b=$±\sqrt{6}$，
∴直線l的方程為：y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{6}$或y=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{6}$．

點評 本題考查正弦函數的性質，二倍角的正弦公式，兩角和的正弦公式，以及直線的斜率與方程，屬于中檔題．