Question

10．已知函數(shù)f（x）=|x+2|-|x-1|．
（1）試求f（x）的值域；
（2）設(shè)g（x）=$\frac{{a{x^2}-3x+3}}{x}$（a＞0），若對任意s∈[1，+∞），t∈[0，+∞），恒有g(shù)（s）≥f（t）成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值三角不等式化簡求解即可．
（2）通過對a討論函數(shù)g（x）的最小值與函數(shù)f（x）的最大值，然后求解a 的范圍即可．

解答 解：（1）∵||x+2|-|x-1||≤|（x+2）-（x-1）|=3
∴-3≤|x+2|-|x-1|≤3，∴f（x）的值域?yàn)閇-3，3]
（2）g（x）=$\frac{{a{x^2}-3x+3}}{x}$=ax+$\frac{3}{x}$-3，
當(dāng)a≥3時(shí)，g（x）是增函數(shù)，g（x）_min=a，
當(dāng)a∈（0，3）時(shí)，g（x）_min=2$\sqrt{3a}$-3，
∵$g{（s）_{min}}=\left\{{\begin{array}{l}{2\sqrt{3a}-3\;\;\;\;，0＜a＜3}\\{a\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;，a≥3}\end{array}}\right.$，f（t）_max=3，
由題意知g（s）_min≥f（t）_max，
①當(dāng)0＜a＜3時(shí)，$2\sqrt{3a}-3≥3$，此時(shí)a無解，
②當(dāng)a≥3時(shí)，a≥3恒成立，
綜上，a≥3．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)恒成立，絕對值不等式的解法，考查函數(shù)的最值問題的應(yīng)用，分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．