Question

15．在極坐標系中，曲線C：ρ=$\frac{2}{cosθ+2sinθ}$，A，B是曲線C上的兩點，O為極點，∠AOB=$\frac{π}{2}$，則△AOB面積的最小值為$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 曲線C：ρ=$\frac{2}{cosθ+2sinθ}$，不妨設A（ρ₁，θ），B$（{ρ}_{2}，θ+\frac{π}{2}）$，代入化簡利用直角三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：曲線C：ρ=$\frac{2}{cosθ+2sinθ}$，
不妨設A（ρ₁，θ），B$（{ρ}_{2}，θ+\frac{π}{2}）$，
則ρ₁=$\frac{2}{cosθ+2sinθ}$，ρ₂=$\frac{2}{cos（θ+\frac{π}{2}）+2sin（θ+\frac{π}{2}）}$=$\frac{2}{2cosθ-sinθ}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}×$|ρ₁ρ₂|=$\frac{2}{|2co{s}^{2}θ-2si{n}^{2}θ+3sinθcosθ|}$=$\frac{2}{|2cos2θ+\frac{3}{2}sin2θ|}$=$\frac{4}{|5sin（2θ+φ）|}$$≤\frac{4}{5}$，當且僅當sin（2θ+φ）=±1時取等號．
∴△AOB面積的最小值為$\frac{4}{5}$．
故答案為：$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查了極坐標方程的應用、三角函數(shù)求值、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．