Question

10．定義域為（0，+∞）的連續(xù)可導函數(shù)f（x），若滿足以下兩個條件：
①f（x）的導函數(shù)y=f′（x）沒有零點，
②對?x∈（0，+∞），都有f（f（x）+log${\;}_{\frac{1}{2}}}$x）=3．
則關于x方程f（x）=2+$\sqrt{x}$有（　　）個解．

• A． 2
• B． 1
• C． 0
• D． 以上答案均不正確

Answer 1

分析 由已知可得f（x）=log₂x+2，在同一坐標系中畫出f（x）=log₂x+2和y=2+$\sqrt{x}$的圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答 解：由②對?x∈（0，+∞），都有f（f（x）+log${\;}_{\frac{1}{2}}}$x）=3．
可得f（x）+log${\;}_{\frac{1}{2}}}$x為常數(shù)，
令k=f（x）+log${\;}_{\frac{1}{2}}}$x，
則f（x）=-log${\;}_{\frac{1}{2}}}$x+k=log₂x+k，
則log₂k+k=3，
解得：k=2，
故f（x）=log₂x+2，
經(jīng)檢驗滿足條件，
在同一坐標系中畫出f（x）=log₂x+2和y=2+$\sqrt{x}$的圖象，如下圖所示：

由圖可得：兩個函數(shù)圖象有兩個交點，
故關于x方程f（x）=2+$\sqrt{x}$有2個解．
故選：A．

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔．