Question

11．如圖，四棱錐F-ABCD的底面ABCD是菱形，其對角線AC=2，BD=$\sqrt{2}$，AE、CF都與平面ABCD垂直，AE=1，CF=2．
（1）求二面角B-AF-D的大��；
（2）在答題卡的圖中畫出四棱錐F-ABCD與四棱錐E-ABCD的公共部分，并計算此公共部分的體積．

Answer 1

分析 （1）以AC，BD的交點O為原點建立空間直角坐標系，分別求出平面ABF和平面ADF的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$，通過計算cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞得出二面角的大��；
（2）連接EB，EC，ED，設直線AF∩EC=H，則四棱錐F-ABCD與四棱錐E-ABCD的公共部分為四棱錐H-ABCD，利用相似比求出H到平面ABCD的高HP，代入棱錐的體積公式即可得出公共部分的體積．

解答 解：（1）設AC，BD交于點O，以O為坐標原點，以OD、OC、平面ABCD的垂線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系（如圖1），
則A（0，-1，0），B（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），D（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），F(xiàn)（0，1，2）．
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1，0），$\overrightarrow{AF}$=（0，2，2），$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1，0）．
設平面ABF的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{2}}{2}x+y=0}\\{2y+2z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（-$\sqrt{2}$，-1，1）．
同理，可求得平面ADF的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（$\sqrt{2}$，-1，1）．
∴$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}=0$，
∴平面ABF⊥平面ADF，
∴二面角B-AF-D的大小等于$\frac{π}{2}$．
（2）連接EB，EC，ED，設直線AF∩EC=H（如圖2），則四棱錐F-ABCD與四棱錐E-ABCD的公共部分為四棱錐H-ABCD．
過H作HP⊥平面ABCD，P為垂足．
∵EA⊥平面ABCD，F(xiàn)C⊥平面ABCD，
∴平面ACFE⊥平面ABCD，從而P∈AC，HP⊥AC．
∵$\frac{HP}{CF}+\frac{HP}{AE}=\frac{AP}{AC}+\frac{PC}{AC}=1$，∴$HP=\frac{2}{3}$．
又S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}AC•BD$=$\sqrt{2}$．
∴四棱錐H-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{菱形ABCD}•HP$=$\frac{2\sqrt{2}}{9}$．

點評 本題考查了二面角的計算，棱錐的體積計算，屬于中檔題．