Question

18．在△ABC中，若面積S=a²-（b-c）²，則sin$\frac{A}{2}$=$\frac{\sqrt{17}}{17}$．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，由已知的面積利用完全平方公式化簡后，利用余弦定理變形，兩面積相等利用同角三角間的基本關系即可求出cosA的值，結(jié)合$\frac{A}{2}$的范圍，利用二倍角公式即可得解．

解答 解：根據(jù)S=$\frac{1}{2}$bcsinA，又a²=b²+c²-2bccosA，
則S=a²-（b-c）²=a²-b²-c²+2bc=-2bccosA+2bc=$\frac{1}{2}$bcsinA，化簡得：sinA=-4cosA+4①，
又sin²A+cos²A=1②，
聯(lián)立①②，解得：cosA=$\frac{15}{17}$=1-2sin²$\frac{A}{2}$，
可得：sin²$\frac{A}{2}$=$\frac{1}{17}$，
所以：由$\frac{A}{2}$∈（0，$\frac{π}{2}$），可得：sin$\frac{A}{2}$=$\frac{\sqrt{17}}{17}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{17}}{17}$．

點評 此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關系，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵，屬于中檔題．