Question

7．已知函數(shù)f（x）=|cosx|sinx，給出下列五個(gè)說法：
①f（$\frac{82}{3}$π）=-$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$；
②若|f（x₁）|=|f（x₂）|，則x₁=x₂+kπ（k∈Z）；
③f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}$]上單調(diào)遞增；
④函數(shù)f（x）的周期為π．
⑤f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{2}$，0）成中心對(duì)稱．
其中正確說法的序號(hào)是①③．

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，依次對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．

解答 解：由題意函數(shù)f（x）=|cosx|sinx=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}sin2x（2kπ+\frac{π}{2}≤x≤2kπ+\frac{3π}{2}）}\\{\frac{1}{2}sin2x（2kπ-π≤x≤2kπ+\frac{π}{2}）}\end{array}\right.$（k∈Z）；
對(duì)于①：f（$\frac{82}{3}$π）=|cos$\frac{82}{3}π$|sin$\frac{82}{3π}$=）=|cos（$27π+\frac{π}{3}$）|sin（27π$+\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}×（-\frac{1}{2}）$=-$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$；所以①對(duì)
對(duì)于②：若|f（x₁）|=|f（x₂）|，當(dāng)x₂=$\frac{π}{4}$，x₁=$\frac{3π}{4}$時(shí)，成立，則x₁=x₂+$\frac{π}{2}$，所以②不對(duì)
對(duì)于③f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}$]上時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x，可得2x∈[$-\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}$]上是單調(diào)遞增；所以③對(duì)．
對(duì)于④：函數(shù)f（x）=|cosx|sinx，則f（x+π）=|cos（x+π）|sin（x+π）=-（|cosx|sinx）=-f（x），可得函數(shù)f（x）的周期不是π．所以④不對(duì)．
對(duì)于⑤：由于f（$\frac{π}{2}+x$）=|cos（x+$\frac{π}{2}$）|sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx•|sinx|，f（$\frac{π}{2}-x$）=|cos（-x+$\frac{π}{2}$）|sin（-x+$\frac{π}{2}$）=cosx•|sinx|
則：f（$\frac{π}{2}+x$）=f（$\frac{π}{2}-x$）圖象關(guān)于x=$\frac{π}{2}$對(duì)稱．所以⑤不對(duì)．
綜上所得：①③正確，②④⑤不對(duì)．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)的綜合運(yùn)用能力和計(jì)算能力．體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．屬于中檔題．