Question

【題目】設(shè)函數(shù)，，，.

（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義在在證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

（2）若對任意滿足的實數(shù)，都有成立，求證：.

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】

（1）利用單調(diào)性的定義，在區(qū)間（0,1上任取，且，判斷和0的大小即可,同理可證在1，+∞）上單調(diào)遞增;

（2）由結(jié)合條件可得，令，可得在上恒成立，令，，利用一次函數(shù)單調(diào)性求解即可.

證明： (1)在區(qū)間（0,1上任取，且，則有

∵，且，∴

所以

即在區(qū)間（0,1上是減函數(shù)．

同理可證在1，+∞）上單調(diào)遞增

(2)∵ ，即，又因為，

∴ ，即.

令，由（1）可得，即，

即在上恒成立

法1：令，

因為，所以h(t)是關(guān)于t的一次函數(shù)

所以，要想恒成立

必須，又

所以

法2：

又，所以

所以

又，所以

所以