A. | $\frac{4}{3}$ | B. | $\frac{5}{3}$ | C. | 2 | D. | 3 |
分析 由已知足$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$,得知p為三角形的重心,得到$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$,$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})-m\overrightarrow{AB}$=($\frac{1}{3}$-m)$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=n\overrightarrow{AC}-m\overrightarrow{AB}$,
利用M,P,N共線,得到$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=3,然后求m+n的最小值.
解答 解:由在△ABC內(nèi)有一點P,滿足$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$,得知p為三角形的重心,
且$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$,
$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})-m\overrightarrow{AB}$=($\frac{1}{3}$-m)$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$,
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=n\overrightarrow{AC}-m\overrightarrow{AB}$,
因為M,P,N共線,所以$\frac{\frac{1}{3}-m}{-m}=\frac{\frac{1}{3}}{n}$,所以$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=3,
所以m+n=$\frac{1}{3}$(m+n)($\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$)=$\frac{1}{3}$(2+$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$)$≥\frac{1}{3}$(2+2)=$\frac{4}{3}$,
當且僅當m=n時等號成立;
故m+n的最小值為$\frac{4}{3}$.
故選A.
點評 本題考查了平面向量的運算以及利用基本不等式求代數(shù)式的最小值;關(guān)鍵是求出m,n的關(guān)系等式.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | π+1 | B. | π+2 | C. | 2π+1 | D. | $3π+5+2\sqrt{2}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{3}{5}$ | C. | $\frac{3}{4}$ | D. | $\frac{4}{5}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (0,3] | B. | [-1,0) | C. | [-1,3] | D. | (3,4) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 若a<b且c<d,則ac<bd | |
B. | 若ac2>bc2,則a>b | |
C. | 若a>b,c<d,則a-c<b-d | |
D. | 若0<a<b,集合A={x|x=$\frac{1}{a}$},B={x|x=$\frac{1}$},則A?B |
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