Question

5．定義：分子為1且分母為正整數(shù)的分數(shù)稱為單位分數(shù)．我們可以把1分拆為若干個不同的單位分數(shù)之和．
如：1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$，
1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$，
1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$，
依此類推可得：1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{56}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{90}$+$\frac{1}{110}$+$\frac{1}{132}$+$\frac{1}{156}$，
其中m≤n，m，n∈N^*．設1≤x≤m，1≤y≤n，則$\frac{x+y+2}{x+1}$的最小值為$\frac{8}{7}$．

Answer 1

分析 使用列項法及m，n的范圍求出m，n的值，得出x，y的范圍，從而求出答案．

解答 解：∵1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{56}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{90}$+$\frac{1}{110}$+$\frac{1}{132}$+$\frac{1}{156}$，
∴1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}-\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{12}$-$\frac{1}{13}$，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{4}$-（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{13}$）=$\frac{33}{260}$．
∵m≤n，m，n∈N^*．
∴m=13，n=20，則$\frac{x+y+2}{x+1}$=1+$\frac{y+1}{x+1}$，
∵1≤x≤13，1≤y≤20，
∴y=1，x=13時，$\frac{x+y+2}{x+1}$取得最小值為$\frac{8}{7}$．
故答案為：$\frac{8}{7}$

點評 本題考查了本題考查類比推理，考查裂項相消方法的運用，正確運用裂項相消是關鍵．