Question

3．如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=AC，AB=$\sqrt{2}$AA₁，AC₁⊥A₁B，M，N分別是A₁B₁，AB的中點(diǎn)，給出下列結(jié)論：
①C₁M⊥平面A₁ABB，
②A₁B⊥NB₁，
③平面AMC₁⊥平面CBA₁
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 先證明AM⊥A₁B，AM∥NB₁，即可得解A₁B⊥NB₁，又AC₁⊥A₁B，進(jìn)而可證平面AMC₁⊥平面CBA₁，利用面面垂直的性質(zhì)可證C₁M⊥平面A₁ABB．

解答 解：∵由已知，設(shè)AA₁=1，則可求：A₁M=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AM=$\sqrt{{A}_{1}{A}^{2}+{A}_{1}{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$；
AB=$\sqrt{2}$，A₁B=$\sqrt{{A}_{1}{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴sin∠A₁AM=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，cos∠A₁AM=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，sin∠AA₁B=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，cos∠AA₁B=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴設(shè)A₁B與AM交于點(diǎn)Q點(diǎn)，則：
sin∠A₁QA=sin[π-（∠AA₁B+∠A₁AM）]=sin（∠AA₁B+∠A₁AM）=sin∠AA₁Bcos∠A₁AM+cos∠AA₁Bsin∠A₁AM=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}×\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}×\frac{1}{\sqrt{3}}$=1，
∴A₁B⊥AM．
∵M(jìn)B₁$\stackrel{∥}{=}$AN，
∴四邊形ANB₁M為平行四邊形，可證：AM∥NB₁，
可得：A₁B⊥NB₁，故②正確；
又AC₁⊥A₁B，所以A₁B⊥平面AMC₁，所以，平面AMC₁⊥平面CBA₁，故③正確；
顯然有C₁M⊥平面A₁ABB．故①正確；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，平面與平面垂直的判定和性質(zhì)，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．