Question

16．能夠把圓O：x²+y²=9的周長和面積同時分為相等的兩部分的函數(shù)f（x）稱為“親和函數(shù)”，則下列函數(shù)：$f（x）={x^3}+x，f（x）=ln\frac{5+x}{5-x}，f（x）=tan\frac{x}{5}，f（x）={e^x}+{e^{-x}}$，其中是圓O：x²+y²=9的“親和函數(shù)”的個數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由“親和函數(shù)”的定義知，若函數(shù)為“親和函數(shù)”，則該函數(shù)必為過原點的奇函數(shù)，由此判斷即可得出結(jié)論．

解答 解：由“親和函數(shù)”的定義知，若函數(shù)為“親和函數(shù)”，則該函數(shù)為過原點的奇函數(shù)；
①中，f（0）=0，且f（x）為奇函數(shù)，故f（x）=x³+x為“親和函數(shù)”；
②中，f（0）=ln1=0，且f（-x）=f（x），所以f（x）為奇函數(shù)，
所以f（x）=ln$\frac{5+x}{5-x}$為“親和函數(shù)”；
③中，f（0）=tan0=0，且f（-x）=f（x），f（x）為奇函數(shù)，
故f（x）=tan$\frac{x}{5}$為“親和函數(shù)”．
④中，f（0）=e⁰+e^-0=2，所以f（x）=e^x+e^-x的圖象不過原點，
故f（x））=e^x+e^-x不為“親和函數(shù)”；
綜上，以上為“親和函數(shù)”的個數(shù)是3個．
故選：C．

點評 本題考查了新定義函數(shù)的應(yīng)用問題，解題時要注意函數(shù)的性質(zhì)與合理運用，是綜合性題目．