Question

1．如圖是一幾何體的直觀圖、主視圖、俯視圖、左視圖．

（1）若F為PD的中點，求證：AF⊥面PCD；
（2）證明：BD∥面PEC；
（3）求該幾何體的體積．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形底邊中線的性質可得AF⊥PD，再由已知證得CD⊥面PAD，進一步得到CD⊥AF，結合線面垂直的判定得答案；
（2）取PC的中點M，AC與BD的交點為N，連結MN、ME，可證得四邊形BEMN為平行四邊形，由此得到EM∥BN，再由線面平行的判定得BN∥面PEC，即BD∥面PEC；
（3）由三視圖得到原幾何體有關量，然后把原幾何體的體積轉化為兩個棱錐：P-ABCD與P-BCE的體積求解．

解答 （1）證明：由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長為4的正方形，
而且PA⊥面ABCD，PA∥EB，PA=AD=4，EB=2．
取PD的中點F，如圖所示．
∵PA=AD，∴AF⊥PD，
又∵CD⊥DA，CD⊥PA，PA∩DA=A，∴CD⊥面ADP，
∴CD⊥AF．
又CD∩DP=D，∴AF⊥面PCD；
（2）證明：如圖，取PC的中點M，AC與BD的交點為N，
連結MN、ME，如圖所示．
∴$MN=\frac{1}{2}PA$，MN∥PA，∴MN=EB，MN∥EB，
∴四邊形BEMN為平行四邊形，
∴EM∥BN，又EM?面PEC，∴BN∥面PEC，
∴BD∥面PEC；
（3）解：$V={V_{P-ABCD}}+{V_{P-BCE}}=\frac{1}{3}•4•4•4+\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2•4•4=\frac{80}{3}$．

點評 本題考查線面垂直、線面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．