Question

4．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），對(duì)任意的x∈R，總有f（-x）+f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＜$\frac{x}{2}$，若f（4-m）-f（m）≥4-2m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2，+∞）．

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-$\frac{1}{4}$x²，求出函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g（4-m）≥g（m），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-$\frac{1}{4}$x²，
g′（x）=f′（x）-$\frac{x}{2}$，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＜$\frac{x}{2}$，
∴g（x）在（0，+∞）遞減，
而g（-x）=f（-x）-$\frac{1}{4}$x²，
∴f（-x）+f（x）=g（-x）+$\frac{1}{4}$x²+g（x）+$\frac{1}{4}$x²=$\frac{{x}^{2}}{2}$，
∴g（-x）+g（x）=0，
∴g（x）是奇函數(shù)，g（x）在R遞減，
若f（4-m）-f（m）≥4-2m，
則f（4-m）-$\frac{1}{4}$（4-m）²≥f（m）-$\frac{1}{4}$m²，
∴g（4-m）≥g（m），
∴4-m≤m，解得：m≥2，
故答案為：[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．