Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n項和S_n滿足S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=2ⁿ•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（3）設(shè)C_n=4ⁿ+（-1）^n-1•λ2^a_n（λ為非零整數(shù)，n∈N^*），是否存在確定λ的值，使得對任意n∈N^*，有C_n+1＞C_n恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推式及等差數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出；
（3）由（1）可得：C_n=4ⁿ+（-1）^n-1×2ⁿ⁺¹，假設(shè)存在λ使得對任意n∈N^*，有C_n+1＞C_n恒成立，C_n+1-C_n=4ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ×2ⁿ⁺²-[4ⁿ+（-1）^n-1•λ×2ⁿ⁺¹]，化為（-1）^n-1•λ＜2^n-1恒成立．對λ分類討論，即可得出．

解答： （1）證明：由已知：S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N^*），S_n+2+S_n=2S_n+1+1，
∴a_n+2+a_n=2a_n+1，
當(dāng)n=2時，S₃+S₁=2S₂+1，
∴2a₁+a₂+a₃=2a₁+2a₂+1，a₃=a₂+1=4，
∴2a₂=a₁+a₃=6，
即上式對于n=1時也成立．
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，首項為2，公差為1．
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
（2）解：由（1）b_n=2ⁿ•a_n=（n+1）•2ⁿ；
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）×2ⁿ，
2T_n=2×2²+3×2³+4×2⁴+…+n×2ⁿ+（n+1）×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2×2+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）×2ⁿ⁺¹=2+

2(2n-1)

2-1

-（n+1）×2ⁿ⁺¹=-n×2ⁿ⁺¹，
∴Tn=n×2n+1．
（3）由（1）可得：C_n=4ⁿ+（-1）^n-1•λ2^a_n=4ⁿ+（-1）^n-1×2ⁿ⁺¹，
假設(shè)存在λ使得對任意n∈N^*，有C_n+1＞C_n恒成立，
C_n+1-C_n=4ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ×2ⁿ⁺²-[4ⁿ+（-1）^n-1•λ×2ⁿ⁺¹]，化為（-1）^n-1•λ＜2^n-1恒成立．
（�。┊�(dāng)n為奇數(shù)時，即λ＜2^n-1恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)n=1時，2^n-1有最小值為1，∴λ＜1．
（ⅱ）當(dāng)n為偶數(shù)時，即λ＞-2^n-1恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)n=2時，λ＞-2^n-1恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)n=2時，-2^n-1有最大值-2，
∴λ＞-2．即-2＜λ＜1，又λ為非零整數(shù)，則λ=-1．
綜上所述，存在λ=-1，使得對任意n∈N^*，都有C_n+1＞C_n．

點評：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項公式、“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．