Question

5．如圖，某水域的兩直線型岸邊l₁，l₂ 成定角120°，在該水域中位于該角角平分線上且與頂點(diǎn)A相距1公里的D處有一固定樁．現(xiàn)某漁民準(zhǔn)備經(jīng)過該固定樁安裝一直線型隔離網(wǎng)BC（B，C分別在l₁和l₂上），圍出三角形ABC養(yǎng)殖區(qū)，且AB和AC都不超過5公里．設(shè)AB=x公里，AC=y公里．
（1）將y表示成x的函數(shù)，并求其定義域；
（2）該漁民至少可以圍出多少平方公里的養(yǎng)殖區(qū)？

Answer 1

分析 （1）由S_△ABD+S_△ACD=S_△ABC，將y表示成x的函數(shù)，由0＜y≤5，0＜x≤5，求其定義域；
（2）S=$\frac{1}{2}$xysinA=$\frac{1}{2}•x•\frac{x}{x-1}•$sin120°=$\frac{\sqrt{3}{x}^{2}}{4（x-1）}$（$\frac{5}{4}$≤x≤5），變形，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由S_△ABD+S_△ACD=S_△ABC，得$\frac{1}{2}xsin60°+\frac{1}{2}ysin60°=\frac{1}{2}xysin120°$，
所以x+y=xy，所以y=$\frac{x}{x-1}$
又0＜y≤5，0＜x≤5，所以$\frac{5}{4}$≤x≤5，
所以定義域?yàn)閧x|$\frac{5}{4}$≤x≤5}；
（2）設(shè)△ABC的面積為S，則結(jié)合（1）得：S=$\frac{1}{2}$xysinA=$\frac{1}{2}•x•\frac{x}{x-1}•$sin120°=$\frac{\sqrt{3}{x}^{2}}{4（x-1）}$（$\frac{5}{4}$≤x≤5）
$\frac{{x}^{2}}{x-1}$=（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+2≥4，當(dāng)僅當(dāng)x-1=$\frac{1}{x-1}$，x=2時(shí)取等號．
故當(dāng)x=y=2時(shí)，面積S取最小值\$\sqrt{3}$平方公里．
答：該漁民總共至少可以圍出$\sqrt{3}$平方公里的養(yǎng)殖區(qū)．

點(diǎn)評 本題考查的是利用基本不等式解決實(shí)際問題，考查三角形面積的計(jì)算，正確計(jì)算面積，利用基本不等式是關(guān)鍵．