Question

9．已知向量$\overrightarrow a=（sinx，cosx）$，向量$\overrightarrow b=（\sqrt{3}，-1）$，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)向右平行移動$\frac{π}{6}$個單位長度，得函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，π]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用兩個向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則求得f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，π]上的值域．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow a=（sinx，cosx）$，向量$\overrightarrow b=（\sqrt{3}，-1）$，
∴函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$\sqrt{3}$sinx-cosx=2sin（x-$\frac{π}{6}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得2kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)向右平行移動$\frac{π}{6}$個單位長度，
得函數(shù)y=g（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=2sin（x-$\frac{π}{3}$） 的圖象，
∵x∈[0，π]，∴x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，∴g（x）∈[$\sqrt{3}$，2]，
即函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，π]上的值域為[$\sqrt{3}$，2]．

點(diǎn)評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運(yùn)算，正弦函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．