Question

9．設(shè)a＞1，b＞1，求證：$\frac{{a}^{2}}{b-1}$+$\frac{^{2}}{a-1}$≥8．

Answer 1

分析 換元，利用基本不等式，即可證明結(jié)論．

解答 證明：記x=a-1，y=b-1，那么題目變成x＞0，y＞0，求證$\frac{（x+1）^{2}}{y}$+$\frac{（y+1）^{2}}{x}$≥8，
即（x+1）²x+（y+1）²y≥8xy，
即x³+2x²+x+y³+2y²+y≥8xy．
因為2x²+2y²≥4xy，x³+x≥2x²，y³+y≥2y²，
所以x³+2x²+x+y³+2y²+y≥2x²+2y²+4xy≥8xy，
所以$\frac{{a}^{2}}{b-1}$+$\frac{^{2}}{a-1}$≥8．

點評 本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，正確變形是關(guān)鍵．