Question

19．如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，已知PA⊥AC，PA=BC=4，DF=2$\sqrt{2}$．
（1）求證：PA⊥平面ABC；
（2）求三棱錐D-BEF與三棱錐P-ABC的體積的比值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)中位線定理可得DE=EF=2，利用勾股定理的逆定理得出DE⊥EF，從而PA⊥EF，結(jié)合PA⊥AC得出PA⊥平面ABC；
（2）根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)得出△BEF和△ABC的面積比，DE與PA的比值，帶入棱錐的體積公式得出體積比．

解答 證明：（1）∵D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，
∴DE∥PA，$DE=\frac{1}{2}PA=2$，$EF=\frac{1}{2}BC=2$，
∴DE²+EF²=DF²，∴DE⊥EF，
∴PA⊥EF，
又PA⊥AC，AC?平面ABC，EF?平面ABC，AC∩EF=E，
∴PA⊥平面ABC．
（2）∵D，E，F(xiàn)是PC，AC，AB的中點(diǎn)，
∴S_△BEF=$\frac{1}{4}$S_△ABC，DE=$\frac{1}{2}PA$．
∴V_D-BEF=$\frac{1}{3}{S}_{△BEF}•DE$，
V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PA$=$\frac{1}{3}•4{S}_{△BEF}•2DE$=$\frac{8}{3}$S_△BEF•DE．
∴$\frac{{V}_{D-BEF}}{{V}_{P-ABC}}=\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．