Question

7．焦點(diǎn)為F的拋物線C：y²=2px（p＞0）上有一動(dòng)點(diǎn)P，且點(diǎn)P到拋物線C的準(zhǔn)線與點(diǎn)D（0，2）的距離之和的最小值為$\sqrt{5}$
（1）求拋物線C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)Q（1，1）作直線交拋物線C于不同于R（1，2）的兩點(diǎn)A，B，若直線AR，BR分別交直線l：y=2x+2于M，N兩點(diǎn)，求|MN|取最小值時(shí)直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立DF，則有拋物線的性質(zhì)可知|DF|=$\sqrt{5}$，從而解出p，得出拋物線方程；
（2）設(shè)直線AB方程為x=m（y-1）+1，聯(lián)立方程組得出A，B坐標(biāo)的關(guān)系，設(shè)AR方程為y=k₁（x-1）+2，BR方程為y=k₂（x-1）+2，聯(lián)立方程組求出M，N的橫坐標(biāo)，代入弦長(zhǎng)公式求出|MN|關(guān)于m的函數(shù)，利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)求出|MN|的最小值及對(duì)應(yīng)的m的值，從而得出AB方程．

解答 解：（1）連結(jié)PF，DF，則由拋物線的定義得P到準(zhǔn)線的距離等于|PF|，
∴當(dāng)D，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，|PF|+|PD|取得最小值|DF|．
∴$\sqrt{4+\frac{{p}^{2}}{4}}$=$\sqrt{5}$，解得p=2．
∴拋物線的方程為：y²=4x．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為：x=m（y-1）+1（m≠0），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=m（y-1）+1}\end{array}\right.$，消元得：y²-4my+4（m-1）=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=4（m-1）．∴|y₂-y₁|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=4$\sqrt{{m}^{2}-m+1}$．
設(shè)直線AR的方程為y=k₁（x-1）+2，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}（x-1）+2}\\{y=2x+2}\end{array}\right.$，解得x_M=$\frac{{k}_{1}}{{k}_{1}-2}$，
又k₁=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{1}-2}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-1}$=$\frac{4}{{y}_{1}+2}$，∴x_M=$\frac{\frac{4}{{y}_{1}+2}}{\frac{4}{{y}_{1}+2}-2}$=-$\frac{2}{{y}_{1}}$．
同理得x_N=-$\frac{2}{{y}_{2}}$．
∴|MN|=$\sqrt{5}$|x_M-x_N|=$\sqrt{5}$|$\frac{2}{{y}_{2}}$-$\frac{2}{{y}_{1}}$|=2$\sqrt{5}$|$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{y}_{1}{y}_{2}}$|=2$\sqrt{5}$$\frac{\sqrt{{m}^{2}-m+1}}{|m-1|}$．
令m-1=t，t≠0，則m=t+1．
∴|MN|=2$\sqrt{5}$$\sqrt{\frac{{t}^{2}+t+1}{{t}^{2}}}$=2$\sqrt{5}$$\sqrt{\frac{1}{{t}^{2}}+\frac{1}{t}+1}$=2$\sqrt{5}$$\sqrt{（\frac{1}{t}+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$≥$\sqrt{15}$．
∴當(dāng)t=-2即m=-1時(shí)，|MN|取得最小值$\sqrt{15}$．
此時(shí)直線AB的方程為x=-（y-1）+1，即x+y-2=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．