Question

1．給出下列四個(gè)命題：
①?x∈N^*，C${\;}_{n}^{0}$+C${\;}_{n}^{1}$+C${\;}_{n}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{n}$都是偶數(shù)；
②x=-1為函數(shù)f（x）=xe^x的極大值點(diǎn)；
③若x，y∈R，且x+y＞2，則x，y中至少有一個(gè)大于1；
④復(fù)數(shù)（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）²⁰¹⁷的共軛復(fù)數(shù)是：$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i．
其中正確的個(gè)數(shù)有（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)判斷①；利用導(dǎo)數(shù)求出x=-1為函數(shù)的極小值點(diǎn)判斷②；由反證法說(shuō)明③正確；利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出復(fù)數(shù)（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）²⁰¹⁷的共軛復(fù)數(shù)判斷④．

解答 解：對(duì)于①、?x∈N^*，C${\;}_{n}^{0}$+C${\;}_{n}^{1}$+C${\;}_{n}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{n}$=2ⁿ，都是偶數(shù)，故①正確；
對(duì)于②、由f（x）=xe^x，得f′（x）=e^x+xe^x=e^x（x+1），當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴x=-1為函數(shù)f（x）=xe^x的極小值點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③、假設(shè)x，y均小于等于1，則x+y≤2，與x+y＞2矛盾，故③正確；
對(duì)于④、復(fù)數(shù)（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）²⁰¹⁷=$[（\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）^{3}]^{672}•（\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）$=$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，其共軛復(fù)數(shù)是：$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，故④正確．
∴正確命題的個(gè)數(shù)是3個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是中檔題．