Question

11．函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示，若x₁，x₂∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），且f（x₁）=f（x₂），則f（x₁+x₂）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由圖象可得A=1，由周期公式可得ω=2，代入點（-$\frac{π}{6}$，0）可得φ的值，而可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），再由題意可得x₁+x₂=$\frac{π}{6}$，代入計算即可．

解答 解：根據題意，函數f（x）=Asin（ωx+φ）中，
A=1，周期T=2（$\frac{π}{3}$-（-$\frac{π}{6}$））=π，
∴ω=2，
又函數圖象過點（-$\frac{π}{6}$，0），
即2×（-$\frac{π}{6}$）+φ=2kπ，k∈Z，
∴φ=$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴sin（2×$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{3}$）=1，即圖中最高點的坐標為（$\frac{π}{12}$，1），
又x₁，x₂∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），且f（x₁）=f（x₂），
∴x₁+x₂=$\frac{π}{12}$×2=$\frac{π}{6}$，
∴f（x₁+x₂）=sin（2×$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，是基礎題目．