Question

1．已知$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow c}$|=1，且$\overrightarrow a+\overrightarrow b+\sqrt{3}$$\overrightarrow c=0$，則$\overrightarrow a\overrightarrow b+\overrightarrow b\overrightarrow c+\overrightarrow c\overrightarrow a$=$\frac{1}{2}$-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由條件求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$ 且 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{c}$，代入要求的式子化簡可得結(jié)果．

解答 解：已知$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow c}$|=1，且$\overrightarrow a+\overrightarrow b+\sqrt{3}$$\overrightarrow c=0$，∴${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=3${\overrightarrow{c}}^{2}$，即 2+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=3，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$．
又 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{c}$，∴$\overrightarrow a\overrightarrow b+\overrightarrow b\overrightarrow c+\overrightarrow c\overrightarrow a$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$•（-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{c}$）=$\frac{1}{2}$-$\sqrt{3}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$-$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題．