Question

18．點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（3，0）的距離和它到直線l：x=$\frac{25}{3}$的距離之比是$\frac{3}{5}$，則M的軌跡方程是（　�。�

• A． $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$
• B． $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$
• C． $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1$
• D． $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$

Answer 1

分析 由于0＜$\frac{3}{5}$＜1，由橢圓的定義可知：M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的橢圓，然后即可求得其方程．

解答 解：設(shè)d是點(diǎn)M到直線l：x=$\frac{25}{3}$的距離，根據(jù)題意得，點(diǎn)M的軌跡就是集合P={M|$\frac{|MF|}6161611$=$\frac{3}{5}$}，
由此得$\frac{\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}}{|\frac{25}{3}-x|}$=$\frac{3}{5}$．將上式兩邊平方，并化簡(jiǎn)，得16x²+25y²=400．即$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
所以，點(diǎn)M的軌跡是長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)分別為10、8的橢圓．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義，及求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，是個(gè)基礎(chǔ)題．