Question

3．已知函數(shù)y=cosx的圖象與直線x=$\frac{π}{2}$，x=$\frac{3π}{2}$以及x軸所圍成的圖形的面積為a，則（x-$\frac{a}{x}}$）（2x-$\frac{1}{x}}$）⁵的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為-200（用數(shù)字作答）．

Answer 1

分析 求定積分可得a值，然后求出二項(xiàng)式（2x-$\frac{1}{x}}$）⁵的通項(xiàng)，得到（2x-$\frac{1}{x}}$）⁵的展開(kāi)式中含x及$\frac{1}{x}$的項(xiàng)，分別與（x-$\frac{a}{x}}$）中的項(xiàng)相乘求得答案．

解答 解：由題意，a=|${∫}_{\frac{π}{2}}^{\frac{3π}{2}}cosxdx$|=|$sinx{|}_{\frac{π}{2}}^{\frac{3π}{2}}$|=|$sin\frac{3π}{2}-sin\frac{π}{2}$|=2．
故（x-$\frac{a}{x}}$）（2x-$\frac{1}{x}}$）⁵=（x-$\frac{2}{x}$）（2x-$\frac{1}{x}}$）⁵．
展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)由（2x-$\frac{1}{x}}$）⁵ 中含x的項(xiàng)乘以$-\frac{2}{x}$再加上含$\frac{1}{x}$的項(xiàng)乘以x得到的．
∵（2x-$\frac{1}{x}}$）⁵ 展開(kāi)式的通項(xiàng)${T}_{r+1}={C}_{5}^{r}（2x）^{5-r}（-1）^{r}•{x}^{-r}=（-1）^{r}{2}^{5-r}•{C}_{5}^{r}$•x^5-2r．
令5-2r=1，得r=2，因此（2x-$\frac{1}{x}}$）⁵ 的展開(kāi)式中x的系數(shù)為$（-1）^{2}•{2}^{3}•{C}_{5}^{2}=80$．
令5-2r=-1，得r=3，因此（2x-$\frac{1}{x}}$）⁵ 的展開(kāi)式中$\frac{1}{x}$的系數(shù)為$（-1）^{3}•{2}^{5-3}•{C}_{5}^{3}=-40$．
∴（x-$\frac{a}{x}}$）（2x-$\frac{1}{x}}$）⁵的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為80×（-2）-40=-200．
故答案為：-200．

點(diǎn)評(píng) 本題考查定積分，考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，是中檔題．