Question

2．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，其右焦點(diǎn)F到直線x-y+$\sqrt{3}$=0的距離為$\sqrt{6}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線交C于M，N兩點(diǎn)，求三角形OMN的面積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由點(diǎn)到直線的距離公式$\frac{丨c+\sqrt{3}丨}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{6}$，求得c，根據(jù)離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，由橢圓的性質(zhì)即可求得b的值，求得橢圓的方程；
（Ⅱ）由題意可知求得直線方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理可知y₁+y₂及y₁y₂，由弦長(zhǎng)公式求得|y₁-y₂|，根據(jù)三角形面積公式S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|，即可求得三角形OMN的面積．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意可知：由點(diǎn)到直線的距離公式可知：$\frac{丨c+\sqrt{3}丨}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{6}$，即c=$\sqrt{3}$，
∵由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解得a=2，
由b²=a²-c²，
∴b=1，
橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）解：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F（$\sqrt{3}$，0），傾斜角為45°的直線方程為y=x-$\sqrt{3}$，
即x=y+$\sqrt{3}$，代入橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$：得5y²+2$\sqrt{3}$y-1=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$，y₁y₂=-$\frac{1}{5}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}}{5}）-4×（-\frac{1}{5}）}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，
S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{4\sqrt{2}}{5}$=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，
∴三角形OMN的面積$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理及三角形面積公式的綜合運(yùn)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．