Question

6．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）為橢圓的兩個焦點，M為橢圓上任意一點，且|MF₁|+|MF₂|=4，過橢圓焦點且垂直于長軸的弦長為3．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）是否存在以原點為圓心的圓，使該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個不同交點A，B，且$\overrightarrow{OA}$丄$\overrightarrow{OB}$，若存在，請求出該圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知求得a，再由橢圓通徑長得到關(guān)于a，b的方程，聯(lián)立求得b，則橢圓方程可求；
（2）當圓的切線AB的斜率不存在時，設(shè)A（x₁，y₁），則B（x₁，-y₁），由$\overrightarrow{OA}$丄$\overrightarrow{OB}$，得到x₁，y₁的關(guān)系，代入橢圓方程求得圓的半徑，得到圓的方程；當圓的切線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為y=kx+m，由圓心到直線的距離等于圓的半徑得到k與m的關(guān)系，再聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用$\overrightarrow{OA}$丄$\overrightarrow{OB}$得到關(guān)于k，m的另一方程，兩式結(jié)合求得圓的半徑，得到圓的方程，最后說明存在以原點為圓心的圓滿足題設(shè)條件，圓的方程為${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{12}{7}$．

解答 解：（1）由題知|MF₁|+|MF₂|=4，得a=2，…（2分）
又由$\frac{2^{2}}{a}=3$，得$b=\sqrt{3}$．…（4分）
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；…（5分）
（2）假設(shè)存在以原點為圓心，r為半徑的圓．
當圓的切線AB的斜率不存在時，設(shè)A（x₁，y₁），則B（x₁，-y₁），
∵$\overrightarrow{OA}$丄$\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即${{x}_{1}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}=0$，
∴${{x}_{1}}^{2}={{y}_{1}}^{2}$，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，得${{x}_{1}}^{2}=\frac{12}{7}$．
此時${r}^{2}={{x}_{1}}^{2}=\frac{12}{7}$，圓的方程為${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{12}{7}$．…（7分）
當圓的切線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為y=kx+m，
則$r=\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，${r}^{2}=\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}+1}$，①…（8分）
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，整理得（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}•{x}_{2}=\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$ 
又∵$\overrightarrow{OA}$丄$\overrightarrow{OB}$，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}=0$，…（10分）
即4（1+k²）（m²-3）-8k²m²+4k²m²+3m²=0，化簡得${m}^{2}=\frac{12}{7}（{k}^{2}+1）$，②
由①②求得${r}^{2}=\frac{12}{7}$．由于${r}^{2}=\frac{12}{7}＜3=^{2}$，即△＞0．
∴所求圓的方程為${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{12}{7}$．
綜上，存在以原點為圓心的圓滿足題設(shè)條件，圓的方程為${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{12}{7}$．…（12分）

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與圓、圓與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查推理論證能力與計算能力，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．